통신 채널 추정 방식 - LS

이번 글에선 통신 채널 추정을 딥러닝으로 구현하기 전에, 전통적인 통신 채널 추정 방식에 대해 알아보려 한다. 대표적인 채널 추정 방식인 LS(Least Squares)와 MMSE(Minimum Mean Square Error)를 다를 것인데 우선 LS를 먼저 이번 포스팅에서 다뤄보려한다. 

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시스템 모델

기본적인 채널 모델은 다음과 같이 표현된다. 우리는 송신 신호와 수신신호를 통해 아래 식을 추정해낼 수 있다. 
$$
\mathbf{y} = \mathbf{X} \mathbf{h} + \mathbf{n}
$$
 

• \( \mathbf{y} \): 수신 신호 
• \( \mathbf{X} \): 송신 신호 
• \( \mathbf{h} \) : 채널 응답 
• \( \mathbf{n} \) : 잡음 벡터 

 
🧾 LS 채널 수식
LS 방식은 수신 신호 \( \mathbf{y} \)와 예상되는 수신 신호 (\( \mathbf{X} \)에 채널 응답  \( \mathbf{h} \)를 곱한 신호) 의 차이를 최소화 하는(가장 비슷한) 채널을 찾는 방식이다.  (\( \mathbf{y} \approx \mathbf{X} \mathbf{h} \))
 
이들의 오차는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$
\boldsymbol{\varepsilon} = \mathbf{y} - \mathbf{X} \mathbf{h}
$$

 
LS 방식은 이 오차의 제곱합이 가장 작은 \( \mathbf{h} \)를 찾는 방식이다. 

$$
\hat{\mathbf{h}}_{\text{LS}} = \arg \min_{\mathbf{h}} \left\| \mathbf{y} - \mathbf{X} \mathbf{h} \right\|^2
$$

 
미분을 통해 얻은 최소 오차 제곱합 채널 추정지는 아래와 같다. 이는 간단한 행렬 계산을 통해 얻어낼 수 있다는 장점이 있다. 

$$
\hat{\mathbf{h}}_{\text{LS}} = \left( \mathbf{X}^H \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^H \mathbf{y}
$$
 

Colab 실습

https://colab.research.google.com/drive/1pZiITPZX9ruHNHx4DYE-oV6dea8oWRq5?usp=sharing

LS 채널 추정 방식

 
 

• 송신단에서 QPSK 파일럿 전송
• Rayleigh 페이딩 채널과 AWGN 환경으로 시뮬레이션
• 수신된 파일럿을 이용해 LS 방식으로 채널 추정 수행
• 선형 보간을 통해 전체 채널 응답을 복원
• 다수의 실험을 통해 실제 채널과 복원 채널의 MSE 평균을 도출

 

MSE 분포

 
 

채널 응답 실수/허수 성분 그래프

 
 

복소수 평면 (Complex Plane) 상의 점 비교

 

Amplitude & Phase 분석

 

오차 벡터 자체

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마무리

이번 포스팅에선 LS 채널 추정방식의 원리를 알아보고 Colab 실습을 통해 채널 추정을 시각화하여 확인할 수 있었다. 다음 포스팅에선 또 다른 전통 채널 추정방식인 MSSE에 대해 다루어보겠다. 
 
https://chateun.tistory.com/10

[통신 채널 추정 방식 - MMSE]